十字相乘法是一种用于 因式分解和 多位数乘法的数学方法。下面分别介绍这两种应用：

1. 多位数乘法（竖式乘法）

原理

十字相乘法的原理是将两个数的每一位数互相配对相乘，然后将结果相加。具体来说，将两个数竖着写在一起，各位对齐，从右往左，将其中一个数的每一位数逐一乘上另一个数对应的位数，得到一组小积，将这些小积从右往左依次排列在竖式下方的对应位置，最后将所有小积相加，得到最终结果。

步骤

1. 将两个数竖着写在一起，各位对齐。

2. 从右往左，将其中一个数的每一位数逐一乘上另一个数对应的位数，得到一组小积。

3. 将这些小积从右往左依次排列在竖式下方的对应位置。

4. 将所有小积相加，得到最终结果。

2. 二次三项式的因式分解

原理

十字相乘法是运用乘法公式$（x+a）（x+b）=x^2+（a+b）x+ab$的逆运算来进行因式分解。具体来说，就是将二次项系数分解成两个因数的积，将常数项也分解成两个因数的积，然后交叉相乘并相加，使得结果等于一次项系数。

步骤

1. 将二次项系数分解成两个因数的积。

2. 将常数项分解成两个因数的积。

3. 画十字线，使每条十字线两头对应的因数相乘。

4. 交叉相乘的结果相加，若等于一次项系数，则分解正确。

5. 将两行分别写到两个括号中，得到分解因式的结果。

示例

示例1：分解因式 $x^2 + 3x + 2$

1. 二次项 $x^2$ 分解成两个一次单项式的积：$x$ 和 $x$。

2. 常数项 $2$ 分解成两个因数的积：$+1$ 和 $+2$。

3. 画十字线，使每条十字线两头对应的因数相乘：

```

x

x x

+1 +2

```

4. 交叉相乘的结果相加：$2x + x = 3x$，等于原二次三项式的一次项，说明分解正确。

5. 将两行分别写到两个括号中，得到分解因式的结果：$x^2 + 3x + 2 = （x + 1）（x + 2）$。

示例2：分解因式 $x^2 + 10x + 16$

1. 二次项 $x^2$ 分解成两个一次单项式的积：$x$ 和 $x$。

2. 常数项 $16$ 分解成两个因数的积：$+4$ 和 $+4$。

3. 画十字线，使每条十字线两头对应的因数相乘：

```

x

x x

+4 +4

```

4. 交叉相乘的结果相加：$4x + 4x = 8x$，不等于原二次三项式的一次项，说明这种方法不能直接应用。

5. 考虑其他方法，如完全平方公式或分组分解法。

通过以上步骤和示例，可以看到十字相乘法在因式分解和多位数乘法中的广泛应用和重要性。