和“名声显赫”意思相近的歇后语有：

声势不小：

用来形容某个人或事物的声誉很高，备受关注。

大名鼎鼎：

用来形容某个人的名气极大，举世闻名。

赫赫有名：

形容名声极大，也作“赫赫之名”。

名扬四海：

名声传得很远，四海之内都知道。

如雷贯耳：

形容名声极大，广为人知。

这些歇后语都表达了名声大、知名度高的意思，可以根据具体语境选择合适的歇后语来表达。