十字相乘法是一种用于快速解决二次三项式因式分解的方法。这种方法的核心在于将二次项系数和常数项分解成两个数的乘积，并通过适当的组合使交叉相乘后的和等于一次项系数。下面是十字相乘法的基本步骤和技巧：

确定因式分解的形式

对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，我们寻找两个数 $m$ 和 $n$，使得 $m \times n = ac$ 且 $m + n = b$。

分解二次项和常数项

将二次项系数 $a$ 分解为两个因数 $m$ 和 $n$ 的乘积，即 $a = m \times n$。

将常数项 $c$ 分解为两个因数 $p$ 和 $q$ 的乘积，即 $c = p \times q$。

交叉相乘并求和

将 $m$ 和 $p$ 相乘，$n$ 和 $q$ 相乘，然后将得到的两个积相加，即 $mp + nq$。

如果 $mp + nq$ 等于一次项系数 $b$，则 $ax^2 + bx + c$ 可以分解为 $（mx + p）（nx + q）$。

验证结果

展开 $（mx + p）（nx + q）$ 得到 $mnx^2 + （mp + nq）x + pq$。

确认展开后的式子与原二次三项式 $ax^2 + bx + c$ 相等，确保因式分解正确。

示例

例题 1：分解因式 $x^2 + 5x - 6$

确定因式分解的形式

$a = 1, b = 5, c = -6$

分解二次项和常数项

$m \times n = 1 \times （-6） = -6$

需要找到 $m$ 和 $n$ 使得 $m + n = 5$

解得 $m = 6, n = -1$（或 $m = -1, n = 6$）

交叉相乘并求和

$mp + nq = 6 \times （-1） + （-1） \times 6 = -6 - 6 = -12$（不符合）

尝试 $m = 6, n = -1$：

$mp + nq = 6 \times （-1） + （-1） \times 6 = -6 - 6 = -12$（不符合）

尝试 $m = -1, n = 6$：

$mp + nq = （-1） \times 6 + 6 \times 6 = -6 + 36 = 30$（不符合）

验证结果

以上尝试均未成功，说明 $x^2 + 5x - 6$ 不能通过十字相乘法分解为整系数的一次因式。

例题 2：分解因式 $x^2 - 7x + 12$

确定因式分解的形式

$a = 1, b = -7, c = 12$

分解二次项和常数项

$m \times n = 1 \times 12 = 12$

需要找到 $m$ 和 $n$ 使得 $m + n = -7$

解得 $m = -3, n = -4$（或 $m = -4, n = -3$）

交叉相乘并求和

$mp + nq = （-3） \times （-4） + （-4） \times （-3） = 12 + 12 = 24$（不符合）

尝试 $m = -3, n = -4$：

$mp + nq = （-3） \times （-4） + （-4） \times （-3） = 12 + 12 = 24$（不符合）

尝试 $m = -4