十字相乘法是一种用于 因式分解二次三项式的方法，其基本原理如下：

适用对象

适用于形如 $ax^2 + bx + c$（其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$）的二次三项式。

分解二次项系数

将二次项系数 $a$ 分解成两个因数 $a_1$ 和 $a_2$ 的积，即 $a = a_1 \times a_2$。

分解常数项

将常数项 $c$ 分解成两个因数 $c_1$ 和 $c_2$ 的积，即 $c = c_1 \times c_2$。

交叉相乘并求和

将 $a_1$ 和 $c_2$ 交叉相乘，再将 $a_2$ 和 $c_1$ 交叉相乘，然后将得到的两个乘积相加，即 $a_1c_2 + a_2c_1$。

验证分解正确性

如果 $a_1c_2 + a_2c_1$ 正好等于一次项的系数 $b$，则二次三项式可以分解为 $（a_1x + c_1）（a_2x + c_2）$。

示例

以 $x^2 + 7x + 12$ 为例：

二次项系数 $a = 1$，分解为 $1 \times 1$。

常数项 $c = 12$，分解为 $3 \times 4$。

交叉相乘并求和：$1 \times 4 + 1 \times 3 = 4 + 3 = 7$，正好等于一次项的系数。

因此，$x^2 + 7x + 12 = （x + 3）（x + 4）$。

注意事项

在分解二次项系数和常数项时，需要尝试不同的因数组合，以确保最终的和等于一次项的系数。

十字相乘法适用于 $a$ 和 $c$ 都能分解成两个因数的情况，若 $a$ 或 $c$ 不能分解成两个因数，则此方法不适用。

通过以上步骤，可以有效地使用十字相乘法对二次三项式进行因式分解，从而简化计算过程。