杜甫的《登高》一诗， 以“悲”字为核心，贯穿全诗，表达了诗人深沉的忧国忧民之情和个人的孤独与悲凉。以下是对“悲”字在诗中体现的详细分析：

开篇即悲：

诗以“风急天高猿啸哀”开篇，通过描绘猿猴的哀鸣，营造出一种悲凉的氛围，直接抒发了诗人内心的悲伤。

情景交融：

诗中“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”进一步通过落叶和长江的景象，象征着时光的流逝和生命的无常，加深了诗人的哀愁。

个人与家国的共鸣：

后两联“万里悲秋常作客，百年多病独登台”和“艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯”则通过描写诗人长年漂泊、年老多病的境遇，表达了对国家和民族命运的忧虑。

综上所述，杜甫的《登高》以“悲”字为主线，通过描绘自然景象和抒发个人情感，深刻反映了诗人忧国忧民的思想感情。