六月的首字母应该小写。在英语中，月份的名称通常以小写字母开头，因为它们是普通名词，而不是专有名词。只有在特定的情况下，例如句子的开头或标题中，月份的首字母才会被大写。因此，在一般情况下，六月的首字母应该是小写的。

然而，有一个例外情况，那就是当提到月份的英文缩写时，首字母需要大写。例如，六月的英文缩写是"Jun"，在这种情况下，首字母"J"是大写的。

总结：

六月的全名"June"首字母小写。

六月的英文缩写"Jun"首字母大写。