哈姆雷特的叔父克劳狄斯是通过以下方式死亡的：

被哈姆雷特杀死：

在一系列的复仇过程中，哈姆雷特最终与克劳狄斯进行了决战。在决斗中，哈姆雷特利用了克劳狄斯的疏忽，趁机刺死了他。

中毒：

在决斗中，哈姆雷特和克劳狄斯都中了毒剑。尽管哈姆雷特中了剧毒，他仍然在临死前趁机刺死了克劳狄斯，并自己也因中毒身亡。

因此，哈姆雷特叔父克劳狄斯的死因是与哈姆雷特同归于尽，两者都因毒剑受伤而死亡。