十字相乘法是一种用于因式分解二次三项式的有效方法。这种方法特别适用于形如 $ax^2 + bx + c$ 的多项式，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。其基本步骤如下：

分解二次项和常数项

将二次项 $ax^2$ 分解成两个一次单项式的乘积，例如 $x \cdot x$ 或 $（x + m）（x + n）$。

将常数项 $c$ 分解成两个因数的乘积，例如 $p \cdot q$ 或 $（r + s）（t + u）$。

构建十字图

在一张纸上画出十字，将二次项和常数项的因数分别填入十字的左右两边。

确保十字的交叉点处的因数相乘后相加的结果等于一次项的系数 $b$。

确定因式分解结果

根据十字图，将对应的因数组合成两个括号，例如 $（x + m）（x + n）$。

展开这两个括号的乘积，验证其是否等于原多项式 $ax^2 + bx + c$。

检验

展开后的因式乘积应与原多项式相等，以确保分解正确。

示例

以分解因式 $x^2 + 5x + 6$ 为例：

分解二次项和常数项

$x^2$ 分解为 $x \cdot x$。

$6$ 分解为 $2 \cdot 3$。

构建十字图

在纸上画出十字，将 $x$ 和 $2$ 放在上面，$x$ 和 $3$ 放在下面。

交叉点处的因数相乘后相加：$x \cdot 3 + x \cdot 2 = 3x + 2x = 5x$，等于一次项的系数。

确定因式分解结果

将对应的因数组合成两个括号：$（x + 2）（x + 3）$。

检验

展开 $（x + 2）（x + 3）$ 得到 $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$，与原多项式相等。

因此，$x^2 + 5x + 6 = （x + 2）（x + 3）$。

注意事项

十字相乘法适用于二次三项式，且二次项系数通常为1。

在分解常数项时，需要考虑正负号，以确保交叉相乘后相加的结果正确。

分解后的因式乘积应与原多项式完全相等，以确保分解正确。

通过以上步骤，可以有效地使用十字相乘法进行因式分解。