如果不小心把客户姓名写错，以下是一种可能的道歉方式：

立即道歉

首先，要立即意识到自己的错误，并迅速向客户表达歉意。诚恳的态度是道歉的关键，让客户感受到你的诚意和重视。

解释原因

简要、诚实地解释导致错误的原因，但不要过多辩解或找借口。例如，可以说明是因为工作疏忽或系统错误导致的。

提出解决方案

根据具体情况，提出一个或多个解决方案。例如，如果可能，可以立即更正错误并确认客户的身份信息；如果已经成交，可以让客户写一份声明，签字并按手印，同时经纪人拍视频留存作为证据。

跟进确认

在提出解决方案后，及时跟进并确认客户是否满意和接受。确保错误已经得到纠正，并且客户没有因此产生任何不便或误解。

预防措施

向客户保证会采取措施防止类似错误再次发生，例如加强内部审核流程或提高员工培训等。

例如，你可以这样说：

“尊敬的客户，非常抱歉给您带来了不便。由于我们工作的疏忽，导致您的姓名被错误地记录。我们已经立即更正了这一错误，并确认了您的身份信息。为了确保您的权益，我们可以请您写一份声明，签字并按手印，同时我们将拍摄视频留存作为证据。我们非常重视您的信任，并将采取措施防止类似错误再次发生。再次感谢您的理解和配合。”

通过以上步骤，你可以有效地向客户道歉，并尽力减少因错误带来的影响。